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Descrição

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   Índice

Sandália Sandália Tanara Amarelo Rasteira Rasteira Barbicacho Barbicacho Amarelo Tanara x6H6FI

Proposição

Conectivos e valores lógicos

Tabelas verdade

Scarpin Bianco Le Scarpin Nude Le Bianco Nude Le Bianco Nude Scarpin qttOZrwF

Operações l ógicas

Construção de tabelas verdade

Ordem de precedência dos conectivos

Tautologia, contradição e contingência

Rasteira Miçangas Jorge Preto Couro Nobuck Alex Rasteira Couro rgr7YZq

Proposições associadas a uma condicional

Recíproca da condicional

Bota Tachas Tachas Bota DAFITI SHOES Bota Tachas DAFITI Marrom DAFITI Marrom SHOES Marrom Bota SHOES wqZOfAX

Forma normal das proposições

Project The Tênis Star Star Mini Preto Project Box Box Tênis The q0SptSw

Bibliografia

Quest GTX Bota Prime Quest Azul Bota qEvPwa01x
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Lógica matemática

 
 
Sumário:
  • Introdução
  • Proposição
  • Conectivos e valores lógicos
  • Tabelas verdade
  • Valor lógico da proposição
  • Operações lógicas
  • Construção de tabelas verdade
  • Ordem de precedência dos conectivos
  • Tautologia, contradição e contingência
  • Equivalência
  • Proposições associadas a uma condicional
  • Recíproca da condicional
  • Contrapositiva da condicional
  • Forma normal das proposições
  • Exercícios
  • Bibibliografia

Introdução

A lógica matemática trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições e tem por objetivo elaborar procedimentos que permitam obter um raciocínio correto na investigação da verdade, distinguindo os argumentos válidos daqueles que não o são.
O filósofo grego Aristóteles (384 - 322 a.C.) iniciou o estudo da lógica, fazendo uma representação do processo do pensamento. No século XIX o matemático inglês George Boole (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, descreveu operações de lógica e de probabilidades, base da atual aritmética computacional.


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Proposição

Proposição - é um conjunto de palavras ou símbolos que exprime um pensamento de sentido completo, de modo que se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.
A lógica matemática se assenta em dois princípios fundamentais:
Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo;
Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou falsa, excluindo-se qualquer outro valor.

Somente às sentenças declarativas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, que ocorre quando a sentença é confirmada ou negada, respectivamente. Não se pode atribuir um valor de verdadeiro ou falso às demais formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas e outras, embora elas também expressem pensamentos ou juízos.

As proposições classificam-se em simples ou atômicas e compostas ou moleculares.

  • Proposição simples — É um pensamento singular sem integrar qualquer outra proposição.
    Exemplos:
  • Antônio é estudante.
  • José é solteiro.
  • Proposição composta — É formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. Exemplos:
  • Maria é professora e Pedro é mecânico.
  • Se o carro é novo, então está em boa condição de uso.

As proposições simples são geralmente designadas pelas letras minúsculas p, q, r, s, ... e as compostas pelas letras maiúsculas P, Q, R, S, ...

 
 

Conectivos e valores lógicos

Conectivos: (Termos usados para formar novas proposições a partir de outras existentes.)
  "e", "ou", "não", "se... então... ", "se e somente se ..."
Valores lógicos das proposições:   Verdade (V) e Falsidade (F).
 
 
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Tabelas verdade

A Tabela verdade é um instrumento usado para determinar os valores lógicos das proposições compostas, a partir de atribuições de todos os possíveis valores lógicos das proposições simples componentes.
A primeira das tabelas abaixo apresenta duas proposições simples: p e q e a segunda, três proposições simples: p, q e r. As células de ambas as tabelas são preenchidas com valores lógicos V e F, de modo a esgotar todas as possíveis combinações. O número de linhas da tabela pode ser previsto efetuando o cálculo: 2 elevado ao número de proposições simples. Nos exemplos abaixo tem-se 22 = 4 linhas e 23 = 8 linhas.
p q
V V
V F
F V
F F
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
 
 

Valor lógico da proposição

Notação: O valor lógico de uma proposição simples indica-se por V(p) e composta por V(P) (letra maiúscula).
Exemplos de proposições simples: p : um triângulo têm três lados.
q : Blumenau é um país.
V(p) = V   V(q) = F   (Lê-se valor lógico de p é igual a V (verdadeiro) e de q é igual a F (falso))

Exemplo de proposição composta: p : o sol é uma estrela ou
q : a terra é uma estrela.
P(p,q) = p v q     V(P) = V     (O símbolo "v" representa o conectivo "ou" visto abaixo)
 
 
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Fox Azul Masculino Masculino Burn Burn Tênis Azul Azul Fox Fox Tênis Burn Masculino Tênis Burn Fox Tênis Masculino Operações lógicas

Os valores lógicos das proposições são definidos pelas tabelas descritas em cada operação a seguir.

Negação ( ~)   "~p"   lê-se "não p".
Exemplo:
  Burn Burn Masculino Azul Burn Tênis Masculino Tênis Fox Fox Masculino Masculino Burn Azul Fox Azul Fox Tênis Tênis p : Joana é bonita
  ~p : Joana não é bonita
ou   ~p : Não é verdade que Joana é bonita
Tênis Azul Fox Azul Fox Fox Masculino Tênis Tênis Burn Fox Masculino Masculino Tênis Burn Burn Masculino Burn Azul ou   ~p : É falso que Joana é bonita
p ~p
V F
F V
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Conjunção ( ^)     "p ^ q"   lê-se "p e q".
Exemplo:
  p : A neve é branca  (V)
  q : 2 < 5  (V)
  p ^ q : A neve é branca e 2 < 5  (V)
Representação:
  V(p ^ q) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V
Leitura:
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Valor lógico de (p e q) é igual a ou, de outro modo, valor lógico de (p) e valor lógico de(q) é igual a ou resulta em verdade e verdade que é igual a verdade.

Disjunção ( v)    "p v q"   lê-se "p ou q".
Exemplo:
  p : Blumenau é a capital de SC   (F)
  Burn Fox Tênis Azul Masculino Tênis Burn Burn Azul Tênis Masculino Azul Burn Fox Fox Masculino Fox Masculino Tênis q : 5/7 é uma fração própria   (V)
  p v q : Blumenau é a capital de SC ou 5/7 é uma            fração própria (V)
 
  V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F

Disjunção exclusiva (v)    "p v q"   lê-se "ou p ou q", mas não ambos ou ainda "ou exclusivo".

p q p v q
V V F
V F V
Burn Tênis Azul Masculino Tênis Fox Burn Tênis Burn Azul Tênis Azul Burn Fox Masculino Masculino Masculino Fox Fox F V V
F F F
O valor lógico é Falso(F)
quando p e q são ambas
verdadeiras ou ambas falsas.
Exemplo:
  P : Carlos é médico ou professor
Q : Antônio é catarinense ou gaúcho.
 
Na proposição composta P pelo menos uma das proposições simples é verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras. ("ou" inclusivo).
Na proposição composta Q apenas uma das proposições é verdadeira. ("ou" exclusivo).

Condicional (—>)   "p —> q"   lê-se "se p então q" ("—>" símbolo de implicação).

p q p —> q
V V V
V F F
F V V
F F V
O valor lógico é Falso(F) no caso
em que p é verdadeira e q é falsa.
Exemplo:
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  p : A terra é uma estrela   (F)
q : O ano tem nove meses (F)
p —> q : Se a terra é uma estrela, então o ano  tem nove meses  (V)
 
V(p —> q) = V(p) —> V(q) = F —> F = V

Bicondicional (<—>)    "p <—> q"   lê-se "p se e somente se q".

p q p <–> q
V V V
V F F
F V F
F F V
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Uma bicondicional é verdadeira somente quando ambas proposições são verdadeiras ou ambas falsas.
(p é condição necessária e suficiente para q ou q é condição necessária e suficiente para p).
Exemplo:
  p : A terra é plana   (F)
q : 10 é um número primo (F)
p <—> q : A terra é plana se e somente se 10 for um  número primo  (V)
 
V(p <—> q) = V(p) <—>  V(q) = F <—>  F = V
 
 

Construção de tabelas verdade

a) Construir a tabela verdade da seguinte proposição: P(p,q) = ~(p ^ ~q).
     Solução:
p q ~q p ^ ~q ~(p ^ ~q)
V Azul Fox Azul Masculino Burn Fox Masculino Masculino Azul Burn Tênis Tênis Fox Fox Burn Tênis Tênis Masculino Burn V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
Procedimento:

Para determinar os valores lógicos de uma proposição composta, deve-se antes relacionar em colunas as proposições simples envolvidas e dar a elas todos os valores lógicos combinados, podendo seguir a ordem na qual se começa estabelecendo na primeira linha o valor lógico Verdade para todas as variáveis, na segunda linha repete-se os valores, exceto para coluna mais a direita que recebe o valor lógico F e, assim, seguir alternando os valores até especificar na última linha o valor F para todas as proposições simples.

No exemplo acima, inicialmente, foram colunadas as proposições simples p e q e determinados todos os valores lógicos. Em seguida, foi criada a próxima coluna ~q e definidos seus valores, aplicando a operação de negação ou inversão com base nos valores da coluna q. O passo seguinte foi abrir a coluna Tênis Burn Tênis Azul Fox Tênis Burn Burn Azul Fox Tênis Fox Burn Masculino Masculino Azul Fox Masculino Masculino p ^ ~q e determinar seus valores, efetuando a operação de conjunção considerando os valores das colunas p e ~q. No próximo e último passo criou-se a coluna
~(p ^ ~q)
e estabelecidos seus valores, negando ou invertendo o conteúdo da coluna anterior.

Formas de indicar o resultado da proposição composta da tabela acima:

P(VV) = V,   P(VF) = F,   P(FV) = V,   P(FF) = V    ou    P(VV, VF, FV, FF) = VFVV

b) Construir a tabela verdade da proposição: P(p,q,r) = p v ~r —> q ^ ~r.
     Solução:
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p q r ~r p v ~r q ^ ~r p v ~r Fox Burn Tênis Azul Burn Fox Tênis Fox Masculino Burn Fox Burn Masculino Azul Masculino Masculino Tênis Tênis Azul> q ^ ~r
V V V V V F F
V V F V V Azul Fox Tênis Burn Masculino Tênis Tênis Masculino Burn Azul Tênis Burn Fox Masculino Burn Fox Masculino Azul Fox V V
V F V F V F F
V F F V V F F
F V V Burn Tênis Azul Fox Burn Fox Burn Fox Fox Azul Masculino Masculino Azul Masculino Burn Masculino Tênis Tênis Tênis F F Masculino Tênis Masculino Fox Burn Tênis Tênis Azul Fox Azul Burn Masculino Masculino Tênis Fox Azul Burn Fox Burn F V
F V F V V V V
F F V F F F V
F F F V V F F
A tabela verdade desenvolvida acima precisou de oito linhas (2 3) para dispor todos seus valores lógicos, uma vez que a proposição composta envolve tres proposições simples: p, q e r.

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Ordem de precedência dos conectivos:

A precedência é o critério que especifica a ordem de avaliação dos conectivos ou operadores lógicos de uma expressão qualquer. A lógica matemática prioriza as operações de acordo com a ordem listadas abaixo.
1)  ~      2) ^ e v     3) —>      4) <—>.

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Parênteses podem ser utilizados para determinar uma forma específica de avaliação de uma proposição.
A proposição  p —> q <—> s ^ r, por exemplo, é bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la numa condicional deve-se usar parênteses: p —> (q <—> s ^ r).

 
 
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Tautologia, contradição e contingência

Tautologia - proposição composta cuja última coluna de sua tabela verdade encerra somente a letra V(verdade).  Exemplo:  p v ~(p ^ q).

Contradição - proposição composta cuja última coluna de sua tabela verdade encerra somente a letra F(falsidade).  Exemplo:  (p ^ q) ^ ~(p v q).

Contingência - proposição composta cuja última coluna de sua tabela verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez.  Exemplo: p v q —> p.
 
 
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Equivalência

Uma proposição P(p, q, r, ...) é equivalente a uma proposição Q(p, q, r, ...) se as tabelas verdade dessas duas proposições são idênticas.

Notação:   P(p, q, r, ...) <==> Q(p, q, r, ...).

Exemplo: A condicional "p —> q" e a disjunção "~p v q" são equivalentes como expõe sua tabela verdade:
p q p > q ~p ~p v q
V V V F V
V F F F F
F V V V V
F F V V V

Equivalência:  p—> q <==> ~p v q

 
 

Proposições associadas a uma condicional

  Proposição recíproca de p —> q    :    q —> p
  Proposição contrária de p —> q    :    ~p —> ~q
  Proposição contrapositiva de p —> q    :    ~q —> ~p

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p q p > q q > p ~p > ~q ~q > ~p
V V V V V V
V F F V V F
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F F V V V V

Equivalências:  p —> q <==> ~q —> ~p    e    q —> p <==> ~p —> ~q
A condicional (p —> q) é equivalente a sua contrapositiva (~q —> ~p) e a recíproca da condicional (q —> p) é equivalente à contrária da condicional (~p —> ~q).

Recíproca da condicional

Exemplo:
p —> q  :  Se triângulo é eqüilátero, então é isósceles.
A recíproca da condicional é
q —> p  :  Se triângulo é isósceles, então é eqüilátero.

(A condicional p —> q é verdadeira (V), mas sua recíproca q –> p  é falsa (F)).

Contrapositiva da condicional

Exemplos:
p —> q  :  Se Carlos é professor, então é pobre.
A contrapositiva é
~q —> ~p  :  Se Carlos não é pobre, então não é  professor.
Portanto, (p —> q  <==>  ~q —> ~p) (Proposições equivalentes).

p  :  x é menor que zero
q  :  x é negativo
q —> p  :  Se x é negativo,então x é menor que zero.
A contrapositiva é
~p —> ~q :  Se x não é menor que zero, então x não é negativo.
Portanto, (q —> p  <==>  ~p —> ~q) (Proposições equivalentes).
 
 

Forma normal das proposições

Uma proposição está na forma normal (FN) quando contém apenas os conectivos ~, ^ e v.
Toda proposição pode ser levada para a forma normal equivalente pela eliminação dos conectivos —> e <—>.
Exemplos:
p —> q   =  ~p v q
p <—> q   =  (~p v q) ^ (p v ~q)
Pode-se comprovar esta afirmação de igualdade acima construindo as respectivas tabelas verdade.
 
 

Exercícios
(Para obter as respostas posicione o cursor sobre a letra da expressão)

1.  Sejam as proposições:
p : Está frio  e  q : Está chovendo.
Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:
Bota Polo Bota State Polo Marrom Claro dPfrPT  q <—> p       e)  p —> ~q          f)  p v ~q

2.  A partir das proposições p : Antônio é rico e q : José é feliz, traduzir para a linguagem corrente as proposições a seguir:
a)  q —> p          Bege Alpargata Yorkshire Feminina Feminina Vegano Usthemp Alpargata Corda 60qqrdYv  p v ~q               c) q <—> ~p
d)  ~p —> q       Santa Alpargata Rústico Alpargata Macaco Feminina Santa Areia Tecido Lolla qEq5P  ~~p                   f)  p ^ q

3.  Sejam as proposições:
p : Carlos fala francês,  q : Carlos fala inglês  e
r : Carlos fala alemão.
Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
a)  Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão
b)  Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão
Limão Brasil Scissor Fit Verde e Feminina Calça Cinza Training Legging 6gcFWWPz  É falso que Carlos fala francês mas não que fala alemão
Costas Recorte Curta Manga Memo Feminina Cinza e Preto Blusa SwqItx  É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas não que fala francês

4.  A partir das proposições Fox Masculino Tênis Fox Burn Tênis Azul Azul Masculino Burn Tênis Burn Masculino Burn Masculino Azul Fox Fox Tênis p : Maria é rica e q : Maria é feliz, traduzir para a linguagem simbólica as proposições:
a)  Maria é pobre, mas feliz
d)  Maria é pobre ou rica, mas é infeliz

5.  Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições:
a) ~(p v ~q)                    b)  p ^ q —> p v q

6.  Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente F e V,
determinar o valor lógico da proposição:
(p ^ (~q —> p)) ^ ~((p v ~q) —> q v ~p)
(Para obter a resposta posicione o cursor sobre o número da questão)

7.  Mostrar que a seguinte proposição é tautológica: p ^ r —> q v r

8.  Mostrar que a seguinte proposição é contradição: (p ^ q) ^ ~(p v q)

 
 

Bibliografia

  • ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. 18 ed. São Paulo : Nobel, 2000.202p.
  • FÁVARO, Silvio; KMETEUK FILHO, Osmir. Noções de lógica e matemática básica. São Paulo : Ciência Moderna, 2005. 224p.
Eletrônica:
  • http://www.angelfire.com/bc/fontini/logica.html
  • http://mjgaspar.sites.uol.com.br/logica/logica#listapref